插入

多次在本教程中提起它之后，是时候真正讲解插入技巧了。

当我们以某种方式得到一个好的构造后，我们假设只需要一个角块三循环就可以完成它。我们该做点什么？我们显然可以直接做一个角块循环，但是，如果你学习了所有的角块三循环情况，你会知道一个角块循环可以多达12步。而最好的情形却只需要八步，多出了这四步就不好了。但有一个几乎可以在八步内就完成一个角块三循环的方法：插入。

简单的插入

插入的原理并不难理解：如果只剩下三个角块就能复原，我可以一步一步看我的构造步骤，并在能用八步就解决这三个角块的情况下解决它们。这个循环并不会影响除了这三个角块之外的其他部分，而余下的步骤会继续解决其他的部分，而这三个角块也会归位，因为我们已经用插入的循环中解决了它们。

这就是怎么用八步来解决一个角块三循环的方法。这个技巧如何进阶？在尝试过所有可能的插入之后，我们当然会选择一个可以消去最多步骤的插入；通常来说，检查出所有八步循环，并从中选择出一个最好的就足够了。但在及其罕见的情况下,最好的插入是一个九步（或者更长）的循环，但这种情况不太可能发生，所以并不是很有必要去尝试每一种循环。

为了可以更方便的在检查构造步骤时跟踪这三个角块，很多人建议用白色贴纸³³来贴魔方，并标上1,2,3（你喜欢的话也可以用字母A,B,C）³⁴。而我的做法是，带一个比较便宜的而且贴纸亮度不高的魔方，用铅笔写在上面。

下面给出一个例子³⁵：

打乱：D B2 U' F2 L2 D2 R2 U F2 U2 L2 R' D2 B L' U' R2 F2 R B F2

构造：
B' U' D L' F' //EO + blocks
D2 L2 D' L //Pseudo 2x2x3
U2 R2 U' R' //Pseudo 2x2x1
U L' U R' U' L U2 R' L' //All but 3 corners

在这个时候，取一根铅笔然后在蓝红黄角块上的红色面写上“1”，在蓝黄橙角块上的橙色面写上“2”，在橙蓝白角块上的白色面写上“3”³⁶。然后使用公式L B2 L F L' B2 L F' L2还原，并重新打乱它。

现在我们可以解决这三个角块，但我们需要九步R2 F R B2 R' F' R B2 R。所以我们转动构造步骤的第一步B',然后看我们是不是能得到一个更好的情形：看起来不是，依然需要九步。继续下一个步骤U'³⁷：我们知道现在可以用八步循环来解决这三个角块了L2 F R F' L2 F R' F'！如果我们使用这个插入点，最终的解法会是这样：

B' U' (L2 F R F' L2 F R' F') D L' F' D2 L2 D' L U2 R2 U' R' U L' U R' U' L U2 R' L'

但是，我们还有更好的选择。继续下一步D会发现这个时候需要插入九步的循环³⁸。再接下去检查一些步骤，直到L' F' D2。现在我们可以使用八步循环来解决这三个角块D' F2 D B2 D' F2 D B2³⁹。但会发现不止是这样：最后一步与这个循环的第一步抵消了！如果我们想用这个插入点来还原，解法如下：

B' U' D L' F' D2 (D' F2 D B2 D' F2 D B2) L2 D' L U2 R2 U' R' U L' U R' U' L U2 R' L'

等价于

B' U' D L' F' (D F2 D B2 D' F2 D B2) L2 D' L U2 R2 U' R' U L' U R' U' L U2 R' L'

消去一步，耶！所以我们只用了七步就解决了这三个角块。

出于更周全的考虑，我们需要继续寻求更好的插入点直到这个构造步骤被检查完。事实上，最好的插入出现在后面：

B' U' D L' F' D2 L2 D' L U2 R2 U' R' U L' * U R' U' L U2 R' L'

* = L F' L' B L F L' B'

得出解法：

B' U' D L' F' D2 L2 D' L U2 R2 U' R' U L' L F' L' B L F L' B' U R' U' L U2 R' L'

其中L和L’抵消，所以得出：

B' U' D L' F' D2 L2 D' L U2 R2 U' R' U F' L' B L F L' B' U R' U' L U2 R' L'

这里不再详述关于棱块的插入，但你应该掌握棱块三循环和棱块两两交换的方法，使用公式M2 U2 M2 或者 R2 U2 R2 U2 R2 U2 或者其他变形公式⁴⁰。

多个插入：分开的循环（棱块三循环和角块三循环）

构造后的魔方并不总是留下一个三循环，插入也可以用于解决更多的循环。

正如我们所看过的，由一个角块循环和一个棱块循环组成的两个三循环，可以利用组循环（可能包括setup步骤）来解决。另一种思路是利用"Sune"⁴¹或者其变式来解决棱块，于是我们需要循环⁴²的只是受影响的角块。这些方法都应该牢记于心，但并不是很经常用到⁴³。最标准的解法是插入两个循环。

用数字标记了角块和棱块之后⁴⁴，就跟做简单的插入一样一步一步检查，但要同时注意角块和棱块以及能否使用组循环和“Sune”。完成之后，就可以把你带有两个循环的最终解法写下来。你还可以做另一种尝试：如果你想保留找到的角块循环，并找到更好的棱块循环，你可以写下只使用了角块循环的解法，然后你就会得到一个比原来的稍长一点，只剩下三个棱块的新的构造。现在你可以用简单的插入来还原它。为什么我们要多做一次搜索？这是因为循环的内部也可能是很好的插入点。你也可以先找出棱块循环，然后再找角块循环。这里有个好的解法，尽管理解起来有点困难。

你完全可以利用这个方法来解决需要两个甚至更多分开循环（三个循环或者是两两交换）的情况，但会显得比较复杂。

多个插入：两个或三个需要翻色的角块

当你需要修正两个角块的色向时，你可以试着在某些点插入[F L' D2 L F',U2]（12步），而对于三个角块的情况，你可以使用U' B U' F U2 B2 D' R2 U D F' U' B（13步）。但这些通常不是最好的解决思路，特别是第二种情况。

解决两个或者三个需要翻色的角块一般是插入两个角块循环。第一个循环只需要把这三个需要翻色的角块（对于两个角块的情况，是两个需要翻色的角块和任选一个角块）加入循环，并尽可能多的消去步数。然后在插入后得到的新构造中插入第二个循环。

使用这种方法时，只要在需要翻色的角块上面画个X或者其他什么符号；而如果你打算使用前面所提到的翻角公式，我建议你在上面画一个箭头，以便提醒你怎么翻转这些角块（是顺时针还是逆时针）。

找到第一个循环后，擦掉这些标记，然后在贴纸上写下1,2,3。

你也可以利用这种方法解决两个需要翻转的棱块，但我建议你选择放弃，因为棱块循环通常需要较多的步数。

多个插入：四个角块

如果魔方剩下四个角块，最坏的情况是四个角块都在对的位置但色向错误，这种情况需要插入三个循环，应该选择放弃。⁴⁵

除去这种情况，还有其他三种情况：

一个角块需要翻色，其他三个角块组成一个色向错误的三循环⁴⁶。

有两对角块需要两两互换，且色向正确⁴⁷。

有两对角块需要两两交换，且色向不正确。

上面所述的情况都可以用两个循环来解决：第一种循环是需要先完成四个角块中的一个，而无需顾及⁴⁸另外三个，然后第二个循环就需要在第一个插入后的新构造步骤中插入，完成其余三个角块。

对于上面三种情况，我用下列三种方法来标记魔方：

用X来标记那个需要翻色的角块（我并不关心它应该往哪个地方翻转），然后用数字1到3来标记其余三个角块；而这个时候这个循环的“色向”是错误的，1对应2，2对应3，3却不会对应1，而是这个角块的另一个面⁴⁹。没事，给这个面标上数字4。

给其中一组角块标上两个X，给另一组角块标上两个A。

我们用了四个数字来标记一个“色向”错误的三循环，而对于一个“色向”错误的二循环，我们需要三个数字：与情况1同理，給这两个二循环分别标上1到3和A到C。

对于第一种情况，第一个循环可以是X到3,3到4,4到X。但1->2->3->1这样的循环就不可取，这会导致最终留下两个错误的角块，而非三循环。

同样地，我建议不要用相同的方法来处理四个棱块的情况。

这里有一个改编过⁵⁰的优秀实例：由João Pedro Batista Ribeiro Costa保持的南美洲记录。

打乱：L U2 D' L' U2 B' D B' L U2 F2 R2 F' R2 L2 F' U2 D2 F

解法：
F D' # U2 * R //EO
D' F' L2 //2x2x2
F2 D F2 //Pseudo F2L-2
B' D B //F2L-1
F' D' F' //AB4C
* = U R D' R' U' R D R' //First commutator, 5 moves cancel
# = L' U' R' U L U' R U //Second commutator, 3 moves cancel

最终解法：F D' L' U' R' U L U' R2 D' R' U' R F' L2 F2 D F2 B' D B F' D' F'

多个插入：五个角块

在所有剩下五个角块的情况中，只有一种情况可以构成五循环，从而只需要插入两个三循环就可以完成。其余大部分情况需要三个循环。而当五个角块都在正确的位置而色向错误，则需要插入四个循环。这里不讨论需要三步或者三步以上的情况而只讨论需要两个循环的情况（即使你有时确实要尝试插入三个循环）。

最简单，也许也是最有效的方法是使用二步搜索法，就像剩四个角的做法一样。给角块标上数字1到5后，你重新一步一步检查构造序列，然后找到任何可以解决序号连续的三个角的循环，这些循环如下：

1 → 2 → 3 → 1
2 → 3 → 4 → 2
3 → 4 → 5 → 3
4 → 5 → 1 → 4
5 → 1 → 2 → 5

这显然会比只找一个循环花费更多的时间，同样地，找到八步循环就足够了，而你每找到一个就把它写下来。

当你完成第一个步骤后，你就选择你找到的循环当中最好的（消去步数最多的）一个⁵¹，然后插入这个循环。现在你就有了一个新的，只剩下三个角块的构造序列，然后你应该明白要做什么了。

这个方法并不能保证你所得到的就是最优解法：为了安全起见，你应该检查（至少是大部分）第一步所找到的循环，然后完成很多的第二步（也许不起作用）。这种方法会浪费很多时间，但可能得出更好的解法。

如果你不清楚还能不能再得到更好的解，记住完成一个角块五循环的目标是10到11步。

还有一个更快，而且可以一步到位，但稍微有点复杂的方法。它几乎和二步搜索法中第一步的做法相同，但要同时记下找到的循环和还原的角块。这个时候，你甚至不用再去碰魔方，就可以知道选择哪对循环来完成角块五循环。

要理解这个方法，我们需要一些关于循环的理论⁵²；不用担心，我会尽量将它缩减。

首先，按照平常的记法，循环记为：

(1 2 3 4 5)

意思是角块1指向角块2,角块2指向角块3...角块5指向角块1。在这种记法中，循环(2 3 4 5 1)，(3 4 5 1 2)等等都等价于上面那个循环。我们要做的就是把这个五循环拆分成两个三循环，例如：

(1 2 3)(3 4 5)

但这样的循环其实是行不通的。如果你想知道为什么行不通，你可以阅读脚注上面链接的文章，或者你也可以自己动手尝试一下！总之，真正可用的分解应该是这样的：

(1 2 3) (4 5 1)
(2 3 4) (5 1 2)
(3 4 5) (1 2 3)
(4 5 1) (2 3 4)
(5 1 2) (3 4 5)

所以，第一个循环的第一个数字和第二个循环的最后一个数字应该是相同的。

注意，顺序很重要。可以看到，(1,2,3)可以出现在(4,5,1)前面，也可以出现在(3,4,5)的后面。也就是说，当你找到一个好的循环，比方说，循环(1,2,3)，你就可以选择在这个插入点后面的步骤中插入一个循环(4,5,1)，或者在这个插入点前面插入一个循环(3,4,5)。同理，可以尝试上面列举的所有循环。

即便这个方法会比上面的方法更快一些，但却不允许你在一个循环的步骤中插入另一个循环，因此，我建议你在时间不充裕的情况下使用这个方法，或者只作为“初步分析”，看看用这种方法能得到多少步的解，然后再进行第二步来寻求更优的解。

多个插入：五个棱块

通常剩下五个棱块的情况最好放弃，但如果你打算进行尝试，你可以使用跟角块相同的方法。

但有一种情况是可以在很短的步骤内解决的：你可以使用六步五循环：

M' U M U'

即使是再加上一些setup步骤，也是很不错的。试着了解哪些情况可以用它以及它的一些变式来解决，比如它的变化公式L F L' R U' R。如果你得到一个剩下五个棱块的构造，你可以给它标上数字然后你可以给它标上数字然后快速转动看看能不能使用这些公式，但不要在这个方法上投入太多时间。

其他插入：两个角块和两个棱块

有时你会找到一个只剩下两个角块和两个棱块的构造（比如J-Perm,T-Perm,V-Perm等PLL），

在这种情况下，了解一些10步的公式是很有用的：

Fw2 R D R' Fw2 R D' R D R2（J-Perm）
Rw' U Rw' U2 R B' R' U2 Rw2 B'（T-Perm + 翻角）

还有一些11步的公式⁵³，比如：

R U2 R' U' R U2 L' U R' U' L（J perm）
R2 D B2 D' Fw2 D B2 D' Fw2 R2 U'（J perm）
R2 Uw R2 Uw' R2 F2 Uw' F2 Uw F2 U'（T perm）
R' U R U2 L' R' U R U' L U2（J perm + 翻角）

除了这些公式之外（事实上也不只有这些公式），还有它们的逆公式和镜像公式也可以同时还原两个棱块和两个角块。

不过要注意这些公式的逆公式其实是相同的情形，只是让你在不用学习新公式的情况下增大消步的几率。

不要指望可以消去很多步骤，但你掌握越多公式，就越有可能得到优秀的解法。

这里有个不错的实例，不过使用了NISS技巧，这个会在后文解释。

其他插入：共轭与还原

还有一种情况是，你可以只用一个插入来解决分别构成四循环的四个棱块和四个角块。

你可以用如下的方法来解决这种情况：把这八个未复原的块放在同一层（setup），并且要可以用一步就解决这两个四循环，然后就转动这一步，然后再把这些块都放回去（取消setup）。相同的方法也可以用于八个块分成四个二循环的情况，在这种情况下，这个转换的步骤将会是180°（比如U2）⁵⁴。

这里有个很好的例子，我找到这个构造后，插入了三个循环。但Mirek Goljan 给出了一个更有趣的插入，就是使用了这个方法：

Scramble: R2 L2 D2 F2 D' R2 U' B2 D' F2 U2 F' D2 L' F U B F2 U2 F2 L
Solution: U2 F B' L2 D2 F' U F2 L' B2 L F2 L' B' L' D L B' D L U L' D' L U2 R F2 R' L2 B
Skeleton: U2 F B' L2 D2 F' * R F2 R' L2 B
Insertion: * = (B D R2 B R' B2 D U2 F') U (F U2 D' B2 R B' R2 D' B')

有一些LL公式其实就是利用了这个方法：比如(R B2 R2 U2 R) B (R' U2 R2 B2 R')以及其他的一些公式。

步数的估算

这里我给出几种常用的插入大致所需要的步数，这只是一个大致的估算，而没有经过严谨的证明，而且这些数字也取决于以下几点：

你了解多少循环/公式和你观察它们的能力。
构造的长度：长的构造序列会有更多的插入点，所以会有更多机会找到消步（当然也不要因为这个就去选择一个长的构造序列！）。

这些估算的数字可以让你知道到底有没有必要花时间去找插入：如果你的目标是找到一个30步之内的解，而你有一个23步的构造序列而且剩下三个角块，你就很可能成功；但如果你的构造序列超过25步那你可能就需要一些运气了。

你也可以利用这个来比较不同的构造序列：18步剩下四个角块的构造序列就可能比25步剩下三个角块的构造序列要好一些。

下面列举这些数值⁵⁵：

角块三循环：6步。
棱块三循环：7步（随机性很大）。
两个角块翻色，两个循环：8步。
三个角块翻色，两个循环：9步。
四个角块，两个循环：10步。
角块五循环，两个循环：11步。
两个棱块和两个角块，两两交换：10步。

找插入工具

由董百强开发的找插入工具（IF，Insertion Finder），是一个找插入、验证你所找到的插入是不是最优的利器，这个工具最多可以找到4个插入。

在一些简单的情形下（三个角块或者三个棱块）它很有用，但在一些复杂的情形下会给出一些人类不可能得到的解：要有选择的利用它。

³³. 这就是为什么允许你在比赛中带数量不限的贴纸。 ↩

³⁴. 贴纸要以1到2、2到3、3到1的方式贴在魔方上以便还原。 ↩

³⁵. Pseudo，伪块，后文讲解。 ↩

³⁶. 有很多等效的贴法，你可以从任意一个角块的任意一个面开始，只要保证它们是连续的。 ↩

³⁷. 注意:当一个构造有两个相对层的步骤时,试着交换它们的位置,说不定能找到一个好的插入，不一定会有，但你也不知道它会不会就出现了。 ↩

³⁸. 最后两步U' D等效于中层转动E'，所以并不会影响角块：所以在这种步骤的前面和后面，我们的三循环是相同的，只是相当于做了一个整体转动（这个情况下是y'/y）。 ↩

³⁹. 或者B2 U' F' U B2 U' F U ↩

⁴⁰. 也可以做两个循环，跟插入两个角块循环同理。 ↩

⁴¹. R U R' U R U2 R' ↩

⁴². 还需要继续还原，通常会增加一个插入。 ↩

⁴³. 除非你用了很多setup步骤，但这会导致解法变得很长，效率变得很低。 ↩

⁴⁴. 我更喜欢在角块上面标数字，在棱块上面标字母，这样不会混淆。 ↩

⁴⁵. Speedsolving.com论坛上FMC thread有展开相关的讨论，Sébastien Auroux（一位非常权威的玩家）的意见略有不同。但四个色向错误的角块依然是剩下四个角块中最差的情况，除去单纯的步数因素，你要知道找三个插入要比找两个插入花费更多的时间。 ↩

⁴⁶. 只关注这个循环的位置，不关注其色向。一个色向错误的循环需要同时有其他色向错误的块（或者循环）。 ↩

⁴⁷. 除了使用上述方法来解决这个情形，还可以通过一个棱块二交换来实现角块二交换：记住H-Perm M2 U M2 U2 M2 U M2加多一步U2就可以转变为一个角块二交换。</br>还可以利用一些诸如(R U R' U')3 (triple sexy)或者(R' F R F')3 (triple sledge)来交换两组角块。</br>这些另类的解法可能会在某些情况下很有效，但常规的解法基本总是最好的。 ↩

⁴⁸. 除了第一种情况，你必须将那个色向错误的角块放在循环里。 ↩

⁴⁹. 要注意到，在循环中块和面是有区别的。 ↩

⁵⁰. 这个解法被改编过（而且少了一步），所以并没有原解法中所用到的预打乱技巧。这个技巧会在后文解释。 ↩

⁵¹. 最好的选择可能不止一个（比如说你找到两个可以消去3步的循环）；如果你时间不充裕，可以随机选择一个；如果你时间很多，你可以试着都尝试一次。 ↩

⁵². 想看更有趣的读物可以看这篇发布在speedsolving.com论坛FMC thread上的帖子。在这篇特别的帖子上中，严谨地证明了如何找到解决五循环的三循环组合的规则。这里还有另外一篇文章，上面的解释跟我在这里给出的一样（也是我学到这门技术的地方）；然后再提供一个这个方法的实例。</br>数学爱好者们可能会比较熟悉这个主题：这或多或少跟微扰理论有关。 ↩

⁵³. 有些是10步+AUF。 ↩

⁵⁴. 如果剩下不是八个块，或者不是两个四循环，可以使用"反转NISS"，后文会解释。 ↩

⁵⁵. 大部分来源于这里，根据我的个人观点稍微做了一点调整。 ↩

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